院校排名函数笔记软件 初三了,我需要数学二次函数的笔记

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１．二次函数的定义：一般地，形如y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做　　　二次函数．（１） 二次函数的结构特征：①等号的左边是函数y，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．②a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.根据二次函数的定义判断是否是二次函数，要抓住二次项系数不为零这个关键．例1、下列函数中，不是二次函数的是 （ ）（A） ； （B） ；（C） ； （D） ２．二次函数的特殊形式：（１）y = ax2 （２）y = ax2 + bx （３）y = ax2 + c二次函数含有三个系数a、b、c，一般地给出x、y的三组对应值就可以确定a、b、c的数值。3．根据二次函数定义确定字母的值例2、如果函数 是二次函数，求常数m的值。 例3、已知二次函数 ，（1）当m为何值时，此函数为二次函数；（2）当m为何值时，此函数为一次函数. 4．确定实际问题中的二次函数表达式例4、一个长方形的周长是50cm，一边长是xcm，这个长方形的面积为ycm2.（1）试写出y与x的函数解析式；（2）y是x的二次函数吗？为什么？ 例5、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的日销量m（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m = 162 �C 3x.试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元）之间的函数关系，并判断它是二次函数吗？ 1． 二次函数的一般式是____________________________，它的定义域是_______________；利用配方法可以把二次函数的一般式改写成顶点式为____________________________。例、抛物线 y = 3x2 �C（a �C 1）x + a + 1和抛物线 y = 2x2 +（2b �C 1）x �C 2b的顶点相同，则它们的顶点坐标为__________________.2． 二次函数的图象是______________________________。先将二次函数的一般式化成顶点式；确定图象的开口方向、顶点和对称轴，再确定对称轴两旁的几个点，然后描点作图。例、画出二次函数 的图象，并写出此图象的开口方向，顶点坐标，对称轴及与y轴、x轴的交点坐标。 3． 二次函数y = a（x + m）2+ k（a≠0）开口方向：_________________________________________________________________；顶点坐标：____________________________；对称轴：___________________________；增减性：_________________________________________________________________；最值：_________________________________________________________________；4． 二次函数的各系数的作用：（1） 一般式y = ax2 + bx + c（a≠0）中三个系数的作用：a：_________________________________________________________________；b：_________________________________________________________________；c：_________________________________________________________________；b2 �C 4ac：_________________________________________________________________；（2） 顶点式y = a（x + m）2+ k（a≠0）中三个字母的作用：a：_________________________________________________________________；m：_________________________________________________________________；k：_________________________________________________________________；1－1O 例1、如图是 的图象，则① 　　　0； ② 　　　0；③ 　　　　0； ④ 　　　　0； ⑤ _______0；⑥ _______0； ⑦ _______0例2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax + b和二次函数y = ax2 + bx的图象可能为（ ）OxyOxyOxyOxy
（C）（A）（B）（D）例3、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 则点A（a，b）在（ ）（A）第一象限；（B）第二象限； （C）第三象限 ； （D）第四象限.例4、已知二次函数y = �C x2 +（m �C 2）x + 3（m + 1）求证：当m≠�C 4 时，二次函数的图象与x轴必有两个交点； 5． 二次函数的解析式的确定：（1） 一般式y = ax2 + bx + c（a≠0）当知道二次函数图象的三点，一般可用一般式例、已知抛物线过点（1，3）、（�C 2，�C 3）和（3，17），求抛物线的函数解析式。 （2） 顶点式y = a（x + m）2+ k（a≠0）当知道顶点或对称轴或最值时，一般采用顶点式例、已知二次函数的顶点是A（1，�C 4），且过点（4，5），求这个二次函数的解析式； （3） 两根式y = a（x �C x1）（x �C x2）（a≠0）其中x1、 x2是方程ax2 + bx + c = 0的两个解。当知道二次函数的图象与x轴的两个交点时，可用两根式，但结果一般化为一般式或顶点式例、已知一个二次函数的图象经过（�C 2，0）、（1，0）、（0，2）三点，则这个二次函数的解析式为__________________________. （4）若已知二次函数图象的对称轴是y轴（直线x = 0），可设二次函数为y = ax2 + k（a≠0）特别地当图象的顶点是原点时，可设二次函数为y = ax2（a≠0）（5）若已知二次函数的顶点在x轴上（或与x轴只有一个交点），可设二次函数为y = a（x + m）2（a≠0）6． 抛物线与其他曲线的交点：（1） 抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）与y轴有唯一的交点（0，c）；（2） 二次函数的对称轴均是平行于（或重合于）y轴的直线。（因此“直线”勿漏），平行于y轴的直线与抛物线只有一个交点，但与抛物线只有一个交点的直线不一定都平行于y轴（3） 二次函数与x轴的交点是由 决定的，抛物线与x轴的两个交点之间的距离 （4） 平行于x轴的直线与抛物线有一个交点，这个交点就是顶点，有两个交点，这两个交点的纵坐标相同，并且两点的中垂线为对称轴。即二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）当x取x1、 x2时，函数的值相等，则该函数的对称轴为直线 例1、已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值是_______________________________。例2、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是__________________。例3、已知抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）的顶点坐标为（3，�C 2），且 与x轴两交点间的距离为4，则函数的解析式为__________________。（5）抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）当a > 0且 时，抛物线在x轴的上方（即函数值都大于零）；当a < 0且 时，抛物线在x轴的下方（即函数值都小于零）；（6）二次函数与其他函数的交点坐标即求方程组的解7． 建立直角坐标平面，化实际问题为二次函数的问题例1、 小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 是_________。 O例2、某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，求水流下落点B离墙距离OB OxyABC例3、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2） 有一辆宽3.8米，高3米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？ 例4、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 米，入水处距池的距离为4米，同时运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，某运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距为3.6米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。 例5、有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为Sm2，求能围成最大的花圃面积是多少？

函数单调性是函数基本属性的一个非常重要的属性，也是考试中的一个常识点。函数单调性的判断是使用单调性解决问题的基础。因此，必须掌握单调判断的基本方法。

本文从普通函数（具体函数）和抽象函数两个方面介绍了高中阶段的六个常用方法：定义方法，函数属性方法，图像方法，复合函数单调性，插补方法和加法。除了这6种常用方法外，大二学生还必须学习派生方法。

一，具体功能

1.定义方法

定义方法是找到特定函数单调性的基本方法。具体步骤可分为5个步骤：

①值：在给定间隔内取x1，x2中的任意一个；

②求差：求函数值之差，即f（x1）-f（x2）；

③变形：②中公式的变形。常用的方法包括因式分解，泛化，分子和分母的合理化以及公式。

④判断数：判断f（x1）-f（x2）的符号；

⑤结论：如果x1<x2，且f（x1）-f（x2）<0，则为递增函数；如果x1

2.函数属性方法

函数属性方法是一种通过使用常见简单函数的单调性来判断相对复杂函数的单调性的方法，该方法比定义方法简单。常用的属性有：

①y = af（x）和y = f（x）的单调性：a> 0，两者相同； a<0，两者相反；

②f（x）> 0，y =√f（x）具有与f（x）相同的单调性；

③f（x）≠0，y = 1 / [f（x）]与f（x）的单调性相反；

④增加＋增加＝增加，增加－减少＝增加，减少＋减少＝减少，减少－增加＝减少。

3.图像方式

图像方法使用功能图像的起伏来确定功能的单调性。

图像方法的特点是直观直观，但通常只用于相对容易绘制功能图像的功能或已知功能图像的功能：图像升至增高的功能，图像降落至减低的功能功能。

图像方法也是找到函数单调间隔的常用方法。

4.复合函数法

复合函数f [g（x）]由内部函数u = g（x）和外部函数y = f（u）组成。它的解析公式通常更复杂，并且难以直接求解单调性。

您可以从复合函数的内部和外部层函数的单调性开始，分别找到内部函数u = g（x）和外部函数y = f（u）的单调性，然后使用“相同”增加但不同减少”属性判断。找到复合函数f [g（x）]的单调性。

二，抽象功能

5.差异方法＆6.添加项目方法

由于抽象函数没有给出解析公式或图像，因此许多学生感到他们无法启动，甚至直接放弃了。实际上，掌握该方法并不难。

解决抽象函数单调性的方法主要是使用单调性的定义和变形形式。关键是要充分利用标题中给出的关系表达式。

通过这种关系表达式，可以构造f（x1）-f（x2）的形式。有两种方法：插补方法和加法，然后确定f（x1）-f（x2）的符号。

在中学二年级学习导数后，导数方法可以解决抽象函数之外的所有函数的单调性，但是这些方法也必须掌握，并且在解决问题时选择最合适的方法。